Математическая задача Cut Putin

[roar22]

Давайте на пару минут забудем, какими эпитетами называют Путина его русские политические оппоненты, и посмотрим на него как на тело, из которого в разные стороны торчат пять больших выпуклостей: четыре конечности и одна голова. С телом Путина связана одна любопытная математическая задача, год назад предложенная абитуриентам на экзаменах в Массачусетский университет. Приведу облегчённый вариант её условия.

Кладем Путина спиной на плаху и привязываем, чтоб не мешал решению. Встаём рядом с его откинутой правой рукой, начинаем идти вокруг него с топором против часовой стрелки и отрубаем каждый второй орган, пропуская отрубленные. Это называется отрубание с шагом 2.

Если у вас нет живого Путина, можете нарисовать его на листе бумаги и отрубать карандашом. При шаге, равным 2, последовательность будет такой: начинаем с правой руки, отсчитываем – раз, следующая правая нога – два, хлобысь! Затем идет левая нога – раз, левая рука – два, хлобысь! Не останавливаемся: голова – раз, следующая правая рука – два, хлобысь! Затем пропускаем правую ногу, ее уже нет, левая нога – раз, левую руку пропускаем, ее нет, следующая голова – два, хлобысь! Смотрим внимательно: осталась левая нога. Мы совершили два полных оборота.

А если отрезать каждый третий орган (шаг равен 3)? Снова начинаем с правой руки, с нее начинаем всегда, она подписывает приказы. Последним органом окажется левая рука при трех оборотах. Не стесняйтесь проверить.

А если каждый четвёртый орган? Последней будет правая рука.

Если честно, мы хотим, чтобы последней была голова: пусть Путин наслаждается процессом до логического конца. Это и есть наш самый легкий вопрос: с каким шагом надо отрезать органы, чтобы последней была голова? Минимизируйте это число в предположении, что у нас бесконечное число Путиных.

А теперь уберите калькуляторы в сторону – или что там у вас – и ответьте: какой орган будет висеть на Путине последним, если обходить президента с шагом равным 97, или 516, или даже 2022 (любимое путинское число)?

Это лёгкие вопросы. И вот он, настоящий математический восторг: надо найти такое число Х, чтобы, если обходить Путина с шагом, равным Х (то есть отрезая каждый раз Х‑овый орган), получим последней голову, причем тот же результат будет, если работать с шагом (Х+1).

[Вопрос отдельно для Перельмана: если органы Путина пронумеровать и составить таблицу в две колонки, где на каждой строке стоит номер шага и номер последнего оставшегося на теле органа, то в возникшей бесконечной цепи номеров нет ли циклов? Другими словами, можно ли из этой последовательности, если записать ее после нуля с запятой, составить бесконечную периодическую дробь (0,341244124…)? Или она непериодическая? Адрес моей почты Перельман знает. Жду ответа.]

Задача решабельна, миллион за нее вам не дадут. Что особенно вставляет: у задачи, кроме математического аспекта, есть еще чисто терапевтический. Оказывается, с Путиным можно заниматься не только политикой.

После решения отмойте топор и поставьте на место.